Pro bystré hlavy

Ne mnoho lidí má rádo matematiku. A ještě míň z tohoto úzkého výběru lidí má rádo matematickou logiku. Možná, že spadám do alespoň té první množiny populace:-) V každém případě jsem se dnes při zpracovávání referátu do historie matematiky bavila nad jednou úžasnou knížkou, která pojednává právě o logice a Gödelových objevech. Autorem Raymond Smullyan knihu pojmenoval Navěky nerozhodnuto. Pro mě to byl krásný zážitek a někdy jsem se musela opravdu nahlas smát výrokům v knize… Přečíst si tuto knihu je pro laika v logice opravdu obohacující zážitek, kdy pochopí, že matematické výroky a jejich logika nemusí být jen suchou vědou bez vazby na realitu. A tak jsem se rozhodla uvést pár citací z této knihy na svém blogu. Takže nažhavte mozkové závity a připravte si bránicové svaly, začínáme:

Na začátek něco jednoduššího:

„Dejme tomu, že vám nabídnu dvě výhry – výhru 1 a výhru 2. Máte za úkol říct, nějakou větu. Pokud bude vaše věta pravdivá, daruji vám jednu ze dvou výher (ale neřeknu předem kterou). Bude-li věta nepravdivá, nedostanete nic. Samozřejmě je jisté, že pokud řeknete například větu ‚Dvě a dvě jsou čtyři‘, pak určitě dostanete některou výhru. Vám se však z nějakého důvodu líbí výhra 1. Jakou musíte říct větu, abych vám určitě dal výhru 1?“

Nic složitého, že? Tak z jiného prostředí. Tentokrát se jedná o sčítání lidu na ostrově poctivců a padouchů. Jde o to, že každý obyvatel ostrova patří právě do jedné skupiny, buďto mezi poctivce, nebo mezi padouchy, přičemž poctivci  mluví vždy pravdu, kdežto padouši vždy lžou. Sčítač lidu pan McGregor se na tento ostrov vydal sbírat informace o manželských párech, zda jsou poctivci nebo padouši:

„Dveře velmi opatrně otevřel jakýsi neobyčejně ostýchavý muž. Poté, co se jej pan McGregor zeptal, jak je to s ním a jeho paní, všechno, co mu stydlivý manžel řekl, bylo: ‚Jestliže jsem poctivec, pak má poctivou povahu i moje žena.‘

McGregor odkráčel pryč nepříliš potěšen. ‚Jak se mohu něco o téhle podařené dvojici dovědět na základě tak nic neříkající odpovědi?‘ pomyslel si. Už se chystal do svého notýsku napsat: ‚Totožnost manželů nezjištěna,‘ když tu si náhle vzpomněl na něco z přednášek o logice z dob, kdy ještě studoval na univerzitě v Oxfordu. ‚Samozřejmě!‘ vykřikl radostně, ‚docela snadno mohu zjistit, jakou povahu mají oba dva!‘

Jakou povahu má manžel a jakou povahu má jeho paní?“

A ještě jedna otázka z ostrova poctivců a padouchů:

Vydali jste se najít zlatý poklad, ale nevíte přesně, na kterém ostrově ho hledat. Tak dorazíte až na ostrov poctivců a padouchů a než začnete možná zcela zbytečně kopat do země, raději se nejdříve zeptáte. To dá rozum. Jenže nevíte, zda jste se zeptali zrovna poctivce nebo padoucha. Ten vám odpoví: „Jsem poctivec právě tehdy, když na ostrově je zlato.“ Co myslíte, má vůbec smysl začít na ostrově zlato hledat?

Pokud vás ještě tyto hádanky neomrzely, můžete se více vnořit do fantazie a kochat se zadáním posledních dvou příkladů z úvodních kapitol knihy:

V tom prvním z nich se jedná o souostroví padouchů a poctivců, přičemž zde jeden filosof a logik při bádání nad jejich poctivostí či prolhaností nalezl svou osudovou lásku. Po čase se s ní oženil a zůstal na jednom z těchto ostrovů spolu se svou milou bydlet. Manželství to bylo harmonické, až na jednu drobnost, obyvatelé tamních ostrovů patřili mezi takzvané ptačí domorodce, což znamenalo, že uměli stejně dobře mluvit jako uměli i dobře létat. A tak se občas stalo, že manželka (jmenovala se Oona) čas od času zaletěla na jiný ostrov souostroví a jejímu muži nezbylo než nasednout do loďky a přelétavou ženu jet hledat. Jenže na kterém ostrově začít? A tak postupně objížděl ostrovy a ptal se místních domorodců, samozřejmě však netušil, kdo z nich patří mezi poctivce a kdo mezi padouchy. Každý obyvatel ostrova velmi dobře viděl, pokud Oona přiletěla na jejich ostrov, záleželo tedy jen na jejich (ne)poctivosti v odpovědi. A tak se jednoho dne při hledání Oony stalo, že „logik připlul k jednomu docela maličkému ostrovu, na němž bydlelo pouze šest domorodců. Každému z nich položil stejnou otázku a všichni mu kupodivu odpověděli totéž: ‚Alespoň jeden padouch viděl, jak Oona tento večer přilétla na náš ostrov.‘

Viděl skutečně některý z obyvatelů ostrova Oonu, jak u nich přistává?“

Že víte hned odpověď, jestli Oona byla na daném ostrově nebo musel logik putovat ještě k dalším ostrovům? Tak ještě poslední záludnost:

Na jednom Měsíci Jupiteru existuje klub, kde se schází čas od času obyvatelé Marsu a Venuše. Problém je v tom, že nejde na první pohled rozeznat, zda se jedná o ženu či muže, ani zda se jedná o obyvatele Marsu či Venuše, protože se oblékají i chovají naprosto totožně. Až na jednu výjimku, a tou je pravdomluvnost. Venušské ženy pokaždé říkají pravdu, kdežto Venušští muži zarytě lžou. U obyvatel Marsu je to zcela naopak: ženy z Marsu lžou a muži jsou pravdomluvní. Logik George se dozvěděl, že do klubu přicházejí občas manželské páry, které jsou smíšené (tedy jeden z manželů pochází z Venuše a druhý z Marsu). A tak rostla jeho zvědavost, zda takový pár potká. Myslíte, že svoji zvědavost ukojil poté,co potkal manžele jménem Džal a Tork a vedl s nimi následující rozhovor?

„Odkud každý pocházíte?“ zeptal se George.

„Džal je z Marsu,“ odpověděl(a) Tork.

„Víte, ve skutečnosti jsme oba z Marsu,“ doplnil(a) k tomu Džal.

Odtud George zjistil všechny potřebné informace o obou manželech. Kdo z nich byl muž a kdo žena a z které planety každý z nich pocházel?